В настоящее время существует противоречие
между потребностью старшеклассников к
проявлению творчества, активности,
самостоятельности, самореализации и
ограниченностью времени для этого на уроках
математики. Начиная с 2006 года я использую
учебники «Алгебра 7, 8, 9» с углубленным изучением
математики Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюка, К. И.
Нешкова для учащихся математических классов с
целью совершения осознанного выбора
учащимися профиля обучения, предоставления
ученикам возможности работы на уровне
повышенных математических требований, развития
их учебной мотивации.
Как включить учеников в самостоятельную
исследовательскую деятельность, чтобы они сами
«открывали» новые свойства и отношения, а не
получали их от учителя в готовом виде?
Многолетний опыт работы и желание изменить в
себе традиционные представления об обучении
подтолкнули меня к применению исследовательской
деятельности на своих уроках математики.
Конечно, изменение метода работы, структуры
урока ипринятия на себя функции
организатора процесса познания, функции
обеспечивающего системное включение каждого
ученика, независимо от интеллектуального уровня,
в основные виды деятельности, потребовало от
меня определенных знаний и готовности к
саморазвитию.
Я думаю, что включение учащегося в
деятельность влияет и на глубину и прочность
усвоения ими знаний, и на формирование у него
системы ценностей, то есть самовоспитание.
Наличие у учеников способностей к саморазвитию и
самовоспитанию позволит им успешно
адаптироваться к постоянно изменяющимся внешним
условиям, не вступая при этом в конфликт с
обществом.
Тема раздела: «Свойства функций».
Тема урока: «Возрастание и убывание функций».
Тип урока: урок изучения и первичного применения нового материала.
Основные цели:
- Способствовать формированию у учащихся нового понятия монотонной функции;
- Воспитывать положительное отношение к знаниям, умение работать в парах;
- Способствовать развитию аналитического мышления, умений частично-поисковой познавательной деятельности.
ХОД УРОКА
I. Актуализация опорных знаний
– Дайте определение функции.
– Какой формулой задаются функции, графики
которых изображены на чертеже. (Приложение
2)
II. Формирование новых знаний
- Функция f(х) называется возрастающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х 1 и х 2 множества Х, таких, что х 2 > х f(х 2 ) > f(х 1 ) .
- Функция (х) называется убывающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х 1 и х 2 множества Х, таких, что х 2 > х 1 , выполняется неравенство f(х 2 ) < f(х 1 ) .
- Функцию возрастающую на множестве Х или убывающую на множестве Х, называют монотонной на множестве Х.
Выясним характер монотонности некоторых видов
функций: (Приложение 4)
Функция f(х)
= – возрастающая. Докажем это.
Выражение имеет
смысл лишь при х
>
0. Поэтому D(f)
= . При нечетном n функция f(х) = х n
возрастает на всей области определения, то есть
на промежутке (– ;
+). (Приложение
7)
Обратная пропорциональность, то есть функция f(х)
= в
каждом из промежутков (– ; 0) и (0; + )
при k
> 0 убывает, а при k
< 0 возрастает.
(Приложение 8)
Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций (Приложение 9):
IV. Формирование практических умений
Приведем примеры использования свойств монотонных функций:
Выясним, в скольких точках прямая у = 9 пересекает график функции f(х) = + + .
Решение:
Функции у
= , у = и у = – возрастающие функции (свойство 4).
Сумма возрастающих функций – возрастающая
функция (свойство 3). А возрастающая функция
каждое свое значение принимает лишь при одном
значении аргумента (свойство 1). Следовательно,
если прямая у = 9 имеет общие точки с графиком
функции f(х)
= + + , то только
одну точку.
Подбором можно найти, что f(х)
= 9 при х
= 3.
Значит, прямая у
= 9 пересекает график
функции f(х)
= + + в
точке М(3; 9).
Решим уравнение х 3 – + = 0.
Решение:
Легко видеть, что х = 1 – корень уравнения. Покажем, что других корней это уравнение не имеет. Действительно, область определения функции у = х 3 – + – множество положительных чисел. На этом множестве функция возрастает, так как каждая из функций у = х 3 , у = – и у = на промежутке (0; +) возрастает. Следовательно, данное уравнение других корней, кроме х = 1, не имеет.
Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика . К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.
В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.
Навигация по странице.
Возрастание и убывание функции на интервале.
Определение возрастающей функции.
Функция y=f(x)
возрастает на интервале X
, если для любых и 
выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение убывающей функции.
Функция y=f(x)
убывает на интервале X
, если для любых и выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .
К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .
Точки экстремума, экстремумы функции.
Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .
Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .
Под окрестностью точки понимают интервал 
, где - достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .
Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.
На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.
Достаточные условия возрастания и убывания функции.
На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:
- если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
- если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.
Пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение.
На первом шаге нужно найти область определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .
Переходим к нахождению производной функции:
Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2
, а знаменатель обращается в ноль при x=0
. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.
Таким образом, 
и 
.
В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.
Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.
Ответ:
Функция возрастает при 
, убывает на интервале (0;2]
.
Достаточные условия экстремума функции.
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.
Первое достаточное условие экстремума.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.
Другими словами:
Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.
- Находим область определения функции.
- Находим производную функции на области определения.
- Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
- Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
- Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.
Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.
Пример.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .
Находим производную:
Нулями числителя являются точки x=-1
и x=5
, знаменатель обращается в ноль при x=2
. Отмечаем эти точки на числовой оси
Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .
Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично
Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.
Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x=-1
функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1
– точка максимума, ей соответствуем максимум функции 
.
В точке x=5
функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1
– точка минимума, ей соответствуем минимум функции 
.
Графическая иллюстрация.
Ответ:
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .
Пример.
Найдите точки экстремума и экстремумы функции 
.
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:
Найдем производную функции:
В точке x=0
производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:
В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0
(смотрите раздел исследование функции на непрерывность):
Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:
Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6
.
То есть,
Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются 
, точками максимума являются 
.
Вычисляем соответствующие минимумы функции
Вычисляем соответствующие максимумы функции
Графическая иллюстрация.
Ответ:
.
Второй признак экстремума функции.
Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Определение возрастающей функции.
Функция y=f(x)
возрастает
на интервале X
,
если для любых и 
выполняется
неравенство .
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции.
Определение убывающей функции.
Функция y=f(x)
убывает
на интервале X
,
если для любых и 
выполняется
неравенство 
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует меньшее значение
функции.
ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .
К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .
Точки экстремума, экстремумы функции.
Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают .
Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают .
Под
окрестностью точки понимают
интервал 
,
где -
достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .
Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.
На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.
Достаточные условия возрастания и убывания функции.
На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:
если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.
Пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение.
Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .
Переходим
к нахождению производной функции:
Для
определения промежутков возрастания
и убывания функции по достаточному
признаку решаем неравенства и на
области определения. Воспользуемся
обобщением метода интервалов. Единственным
действительным корнем числителя
является x
= 2
,
а знаменатель обращается в ноль при x=0
.
Эти точки разбивают область определения
на интервалы, в которых производная
функции сохраняет знак. Отметим эти
точки на числовой прямой. Плюсами и
минусами условно обозначим интервалы,
на которых производная положительна
или отрицательна. Стрелочки снизу
схематично показывают возрастание или
убывание функции на соответствующем
интервале.
Таким
образом, 
и 
.
В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.
Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.
Ответ:
функция
возрастает при 
,
убывает на интервале (0;2]
.
